Progressão Aritimética

Definição

- Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:

A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)

B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)

C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)

D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ...) de razão r.

De acordo com a definição podemos escrever:

a₂ = a₁ + 1.r

a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r

.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. a_n = a₁ + (n – 1) . r

A expressão a_n = a₁ + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.

Nesta fórmula, temos que a_n é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a₁ é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Soma dos termos de uma Progressão Aritmética

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

 

   Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor.